Corrigé n°9 - Modéliser le fonctionnement d'une pile à combustible

A.1.1. À l'électrode 1, il se produit l'oxydation du méthanol : il s'agit donc de l'anode.

À l'électrode 2, on observe la réduction du dioxygène : il s'agit de la cathode.

A.1.2.  À l'anode, il y a génération d'électrons : elle constitue le pôle négatif de la pile. On peut alors représenter le sens de déplacement des électrons, puis celui du courant, en sens inverse, su le schéma :

A.1.3. La membrane protonique sépare l'anode et la cathode tout en permettant le passage des protons (H⁺) de l'anode vers la cathode : elle joue le rôle de jonction électrolytique. C'est ce déplacement de charges qui assure la fermeture du circuit.

A.1.4. Voir le schéma ci-dessus : les protons se déplacent dans le sens du courant électrique.

A.2. On combine les demi-équations électroniques fournies de manière à échanger le même nombre d'électrons dans chacune. Ainsi, on multiplie la première par 2 et la seconde par 3 pour obtenir : 

`2"CH"_3"OH(aq)"+2"H"_2"O(l)"+3"O"_2"(g)"+12"H"^+"(aq)"\rightarrow2"CO"_2"(g)"+12"H"^+"(aq)"+6"H"_2"O(l)"`

Ce qui, une fois simplifié, donne :

`2"CH"_3"OH(aq)"+3"O"_2"(g)"\rightarrow2"CO"_2"(g)"+4"H"_2"O(l)"`.

A.3.1. On détermine la quantité de matière de méthanol :

`n_"méthanol"=\frac{m_"méthanol"}{M_"méthanol"}=\frac{\rho_"méthanol"\timesV_"méthanol"}{M_"méthanol"}`

Or, on sait que la solution utilisée contient, en volume, 10% de méthanol. D'où :

`n_"méthanol"=\frac{\rho_"méthanol"\times\frac{10}{100}\timesV}{M_"méthanol"}=\frac{\rho_"méthanol"\times\frac{10}{100}\timesV}{M_"méthanol"}`

`n_"méthanol"=\frac{0,792" g"cdot"mL"^{-1}\times\frac{10}{100}\times5,0" mL"}{32,0" g"cdot"mL"^{-1}}=1,2\times10^{-2}" mol"`

On retrouve la valeur de l'énoncé.

A.3.2. Le dioxygène de la pile provient de l'air ambiant : il est donc sans cesse renouvelé. C'est le réactif en excès.

A.3.3. D'après l'équation de fonctionnement, on sait que `\frac{n_{"O"_2}}{3}=\frac{n_{"méthanol"}}{2}`.

On peut déterminer la quantité de matière de dioxygène consommé : `n_{"O"_2}=\frac{3}{2}\times1,2\times10^{-2}" mol"=1,8\times10^{-2}" mol"`

Le volume de dioxygène correspondant est :`V_{"O"_2}=n_{"O"_2}timesV_"m"=1,8\times10^{-2}" mol"\times24,5" L"cdot"mol"^{-1}=0,44" L"`

Or, l'air ne contient que 20 % de dioxygène (`V_{"O"_2}=20%\timesV_"air"`). Le volume d'air correspondant est donc cinq fois plus élevé : 

`V_"air"=\frac{V_{"O"_2}}{20%}=5\timesV_{"O"_2}=2,2" L"`

B.1. On calcule la capacité théorique de la pile :

`Q_"théorique"=n_"e,max"\cdote\cdotN_\"A"=n_"e,max"\cdot"F"`

Or, d'après la demi-équation électronique fournie : `n_"e,max"=6\timesn_"méthanol"`.

D'où :`Q_"théorique"=6\timesn_{"méthanol"}\cdot"F"=6\times1,2\times10^{-2}" mol"\times96,4\times10^4" C"cdot"mol"^{-1}`

`Q_"théorique"=6,9\times10^3" C"`.

B.2. Les élèves associent deux piles : la capacité totale est le double de celle calculée. De plus, on nous dit que le rendement est de chaque pile est de  70 %.  La capacité réelle du dispositif des élèves est donc : 

`Q=0,70\times2\timesQ_"théorique"`

Or, quand la pile est en fonctionnement, on sait que 

`Q=I\cdot\Deltat`.

Ainsi, on obtient : 

`\Deltat =\frac{0,70\times2\timesQ_"théorique"}{ I}`

`\Deltat =\frac{0,70\times2\times6,9\times10^3" C"}{450\times10^{-3}" A"}=21,5\times10^3" s"=6" h"`

La pile pourra faire fonctionner le ventilateur pendant environ 6 heures, ce qui est plus que l'objectif visé.